Важное замечание: суммарное поле будет определяться конечной суммой мод.
Рассмотрим в общем случае неоднородное пространство, у которого
Пусть заданы 2 распределения токов и и их полей
Запишем уравнения Максвелла с электрическими и магнитными токами
Просуммируем полученные уравнения
Проинтегрируем получившиеся выражения по произвольному объему V, ограниченному поверхностью S. Воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского
Решим задачу: волновод с идеально проводящими стенками и заданными токами.
Пусть источники локализованы в некой области. Из физических соображений поля справа - сумма мод, бегущих вправо, слева - влево.
Рассмотрим участок волновода от z1 до z2 и объем, заключенный между поверхностями S1, S2 и стенками волновода.
Рассмотрим 2 моды:
Применим лемму Лоренца
Это означает, что Ipq не зависит от z. Этот интеграл ведет себя так в 2 случаях:
Это соотношение ортогональности мод.
Запишем лемму Лоренца для выделенного объема для случая, когда
Интеграл по боковой поверхности =0, так как равна нулю тангенциальная компонента поля Е.
Комплексное электрическое поле этой моды:
Максимальная амплитуда поля a10 определяется как коэффициент возбуждения данной нормальной моды e(x):
Норма N10 выражается через средний поток энергии П10, отвечающий нормированному электрическому полю e(x), и зависит от поперечного характеристического импеданса ТЕ-волны и размеров волновода.