Решение задач, связанных с данной темой.
В технике обычно встречаются резонаторы с колебанием электромагнитных или механических величин. Конструкция резонатора сильно зависит от его резонансных частот.
Механические резонаторы можно разделить на две условные группы:
Резонатор накопительного действия
Отличительной чертой такого резонатора является накопление энергии внешнего воздействия за счет уменьшения частоты собственных колебаний. С математической точки зрения любой резонатор, частота колебаний которого строго больше частоты колебаний возмущающей силы, является накопительным. Классическим примером являются качели. Усиление выходной мощности происходит за счет сложения мощностей нескольких колебаний возмущающей силы.
Резонатор мгновенного действия
Под «мгновенным действием» подразумевается совершение одного периода колебания резонатора за время, не большее периода колебания возмущающей силы. Примером такого резонатора может служить резонатор Гельмгольца. Усиление в таких резонаторах может происходить за счет:
Резонаторы мгновенного действия могут иметь коэффициент усиления до 45 дБ (10 000 раз).
Электромагнитные резонаторы
В генераторах СВЧ-излучений (клистрон, магнетрон) резонаторы представляют собой металлическую конструкцию, используемую для генерации волн определённой длины.
Рассмотрим граничное условие при z=0 и поле внутри волновода.
Будем использовать формулы для представления поперечных компонент через продольные в векторном виде( см в первой лекции). Рассматривать системы будем отдельно для направлений =z и -z.
Стоит отметить, что условие:
получается в результате подстановки в вышестоящие системы(первые уравнения) следущей системы:
Hz(+)=-Hz(-)
Hп(+)=Нп(-), где п-поперечное
Ez(+)=Ez(-), выделено, т.к. вектора.
В итоге получим:
Таким образом, для любого волновода, коротко замкнутого на конце, зная структуру бегущей волны любой моды, можно получить выражения для полей, являющиеся суммой бегущей и отраженной волны.
Берем отрезок длиной L:h*L=pi*P
То есть в волноводе, который ограничен с двух сторон L-непроизвольное, а h имеет вид:
это дисперсионное соттношение, где k:
Для сравнения, в колебательном контуре лишь одна такая частота.
Каппа определяется только формой волновода(к примеру, у ТЕМ волновода каппа=0).
В отличие от мод волновода TEn,m или TMn,m, в резонаторе имеем еще один коэффициент p: TEn,m,p и TMm,n,p.
Здесь главная мода, имеющая минимальную резонансную частоту, - это TE101:
Найдем все поля данного резонатора для данной моды:
из ранее рассмотренных лекций, можем судить, что у TE волны существует лишь y компонента, которую в ходе задачи будем подставлять в уравнение Максвелла для отыскания Hx, Hz. Отмечу, что данная процедура схоже с построением силовых линий для моды TE10( см лекцию 3)
Нарисуем силовые линии: для начала перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям:
Силовые линии будут иметь вид:
Для построения силовых линий, перейдем к мгновенным значениям:
Строим силовые линии:
Рассмотрим комплексную частоту вида:
Затухание характеризуется w``.
Запишем комплексное поле:
Рассмотрим резонатор с потерями, но на тех же модах, что и без потерь.
Введем понятие запасенной энергии(вектора E и H в формуле - это комплексные амплитуды):
где мощность потерь определяется формулой:
Дано:
резонатор с размерами a, b, L, все поверхности являются неидеально проводящими, проводимость G. Требуется найти w`` для моды TE101.
Решение:
Мода TE, как известно, имеет лишь y компоненту для электрического поля, запишем его ниже, и, уже по классической схеме, найдем остальные компоненты поля через уравнение Максвелла:
Для простоты сделаем только один торец неидеально проводящим:
Все, что осталось, подставить Pпот и Wзап в формулу:
w``=Pпот/2Wзап
Дано: резонатор, торцевая поверхность неидеально проводящая.
Найти: w`` для TEM моды.
Решение:
