Рассмотрим случай ТМ волны.
Если такие волны существуют, то это волны без дисперсии, т.е. есть возможность передавать сигналы без искажений. Фазовые и групповые скорости будут такие же как и в свободном пространстве, т.е. спектр на входе волновода равен спектру на выходе волновода.
Сделаем замену переменных и воспользуемся уравнениями Максвелла без источника:
Получаем, что электрическое поле данной волны такое же как и в статике. Это означает, что ТЕМ - волны возможны только в тех линиях передач, в которых могут существовать статические поля. При этом структура поля совпадает со структурой поля в статике, т.к. статическое поле не зависит от продольной компоненты.
Исследуем коаксиальный волновод и найдем его погонную емкость и погонную индуктивность. При этом берем статические поля. Разместим на центральном проводнике заряд с линейной плотностью и исследуем участок волновода элементарной длины.
Также, свяжем величины заряда и напряжения. Для этого сделаем предположения о поверхности и структуре поля, и воспользуемся теоремой Гаусса.
Исследуем интеграл только по боковой поверхности, т.к. из наблюдений, можно понять, что данное электрическое поле касательно к торцевым поверхностям. 
Получили значение погонной индуктивности волновода через его геометрические размеры и электрическую проницаемость.
Теперь, используя теорему у циркуляции магнитного поля, расчитаем значение погонной индуктивности, которое как мы увидим, будет также зависеть от геометрических размеров волновода.
Телеграфные уравнения — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи.
1. Уравнения для токов.
Его мы получим, воспользовавшись уравнением непрерывности.
2. Уравнения для напряжений.
Нельзя не согласиться, что удобнее из двух уравнений прийти к одному.
Напряжение в данном случае отличается от статического. Введение скалярных величин для токов и напряжений обусловлено удобством в практическом использовании. При этом их значение изменяется только вдоль продольной компоненты z и не зависит от формы траектории самой линии.
Решение данного уравнения представим в виде:
Знак + соответсвует направлению вдоль оси z, а знак - отвечает за направление обратное.
Значения напряжения и тока при положительном направлении равны:
Введем понятие волнового сопротивления в бегущей волне (которое также зависит от геометрических размеров линии):
Рассмотрим полубесконечную длинную линию передачи, где распространяется ТЕМ - волна, и создадим нагрузку на ее конце. Введем понятие импедансов сечения линии:
Слева от нагрузки, волны представляют собой сумму волн бегущих в сторону и от нагрузки.
Введем вспомогательную величину, которая называется коэффициентом отражения в сечении z и запишем выражение для импеданса в сечении:
Воспользуясь граничным условием, т.е. то, что импеданс в начале координат равен импедансу нагрузки. Из него выразим коэффициент отражения, который подставим в значение импеданса в сечении. Также, будем пользоваться формулой Эйлера. После всего этого получим формулу пересчета импеданса:
Классическая запись формулы пересчета импедансов:
1. Согласование нагрузки и линии.
При данном режиме работы, импеданс нагрузки равен волновому сопротивлению из чего следует, что коэффициент отражения равен 0. Значит в данном случае нет встречной волны, которая повышает уровень шума и уменьшает скорость переноса информации. В данном случае вся энергия поглощается нагрузкой. Из формулы пересчета импеданса следует:
2. Режим короткого замыкания.
В данном режиме работы, импеданс нагрузки равен нулю, соответственно коэффициент отражения равен минус единице, а из формулы пересчета импедансов следует:
Это означает, что вся энергия отразится от нагрузки и амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной. Закороченная линия позволяет получать реактивный импеданс, что можно проследить по следующему графику:
Часть графика, находящаяся выше нуля, отвечает за индуктивную нагрузку, а та часть, что ниже нуля - за емкостную
3. Режим холостого хода
При данном режиме импеданс нагрузки равен бесконечности, соответственно коэффициент отражения равен единице, а импеданс в сечении по формуле пересчета импедансов равен:
Четверть-волновый трансформатор представляет собой коаксиальную линию, с одной стороны закороченную нагрузкой, при этом часть линии длины L выполнена из материала, отличного от материала самой линии. Определим импеданс трансформатора и его длину: