Сама по себе данная задача - сложная, но хорошо решается численными методами.
Логично представить поля в волноводе с источниками как сумму мод.
У нас есть заданные токи, мы смотрим какие поля они создают.
Рассмотрим вспомогательную лемму Лоренца.
Рассмотрим в общем случае неоднородное пространство, у которого:
Эти параметры зависят от координат.
Пусть в этом пространстве задано два распределения токов и связанных с ними 2 распределения полей:
Запишем для этих полей две группы уравнени1 Максвелла:
Домножим скалярно первое уравнение на вектор H2, второе на E2, третье на (-H1), четвертое на E1. Затем, сложим первое уравнение с третьим, второе с четвертым:
Складывая последние два уравнения и используя формулу
,
получим:
Проинтегрируем полученное выражение по обьему V, ограниченному поверхностью S. Затем воспользуемся формулой Гаусса-Остраградского и получим:
,
где в скобках стоит идентичное выражение из уравнея выше.
Теперь будем переходить к волноводу.
Будем предполагать, что существует перекрестная связь, эталонное поле(без источников-по сути говоря, то, что расписано в предыдущих лекциях). Будем считать это поле эталонным распределением для нахождения поля с источниками.
Рассмотрим произвольный волновод с идеально проводящими стенками.
из физических соображений, поля справа от источника - это поля, которые бегут вправо, поля слева бегут влево.
Ep,Hp - напряженности поля собственного колебания с номером p.
if p>0, то hp>0-мода, бегущая вправо,
if p<0, то hp<0-мода, бегущая влево.
Разложим поле по собственным модам:
Наша задача состоит в том, чтобы выразить параметры 
через 
и 
.
Рассмотрим участок волновода(без источников) и введем сечения S1, S2. Интересен обьем V, который заключен между сечениями S1 и S2 и стенками волновода. В этом обьеме рассмотрим две моды с индексами p,q.
Применим к этим двум модам лемму Лоренца,предварительно обозначив:
Получим формулу (*)
На боковой поверхности: 
-интеграл на боковой поверхности равен нулю.
Поверхности S1 и S2 выбраны произвольно => интеграл 
не зависит от z
У последнего интеграла не должно быть зависимости от z, поэтому и имеем, так называемое, соотношение ортогональности.
при z>z2:
при z<z1:
Запишем лемму Лоренца для выделенного обьема V в случае, когда:
Непосредственно сама лемма:
то есть интеграл по левой поверхности =0.
Заменим порядок суммирования и интегрирования:
В итоге получаем формулу для нахождения коэффициентов моды через токи в волноводе:
где Np-норма моды(она у моды всегда одна и та же, не зависит от токов):
