В итоге получаем две краевые задачи для нахождения продольных компонент полей.
Первый множитель в первом слагаемом первого уравнения является двумерным оператором Лапласа. Дополнительно об операторе Лапласа.
Эти две краевые задачи независимы . Волны, порождаемые решением первой краевой задачи, называются ТМ-волнами, а волны которые , порождаются решением второй краевой задачи называются ТЕ-волнами. в экранированном волноводе ТМ- и ТЕ- волны независимы друг от друга. Данные задачи являются задачами на собственные функции и собственные значения. Решение есть не при произвольных каппа^2 , но при определенных. Также каппа^2 , при которых существуют решения этих задач , называются собсвенными значениями , а решения их - собтвенными функциями.
Из математической физики известно, что для этих краевых задач каппа (i ) ^2>=0 , где i — дискретный набор чисел.Случай, когда каппа равно 0 будем рассматривать отдельно.
Можем объединить собственные числа в некий набор. Получим: 
Запишем дисперсионное уравнение, дисперсионное уравнение объясняет свойства волн.
При любой заданной частоте ω в волноводе с идеально проводящими стенками всегда существует конечное число распространяющихся волн и бесконечное число волн не распространяющихся.
Длина волноводной волны. Принято выражать длину волны в волноводе на частоте ω через длину волны в свободном пространстве соответствующей заданной частоте и критическую длину волны данной моды.
Рассмотрим вспомогательные понятия.
1. Критическая длина волны (частота) в волноводе.
Частота, при которой волны в волноводе перестают быть распространяющимися, носит название критической частоты.
Длина волны в свободном пространстве, соответсвующая критической частоте, носит название критической длины волны.
2. Фазовая скорость волны в волноводе.
В идеально проводящем волноводе фазовая скорость всегда больше фазовой скорости в свободном пространстве.
3. Групповая скорость - определяет скорость переноса энергии и информации.
В идеально проводящем волноводе групповая скорость всегда меньше фазовой скорости в свободном пространстве.
Он имеет разный вид для TE и TM волн.
Определим выражения для вектора Пойнтинга, который характеризует средний по времени поток энергии через единицу поверхности. 
Тест 2