Краевые задачи. Дисперсионное уравнение. Характеристический импеданс. Вектор Пойнтинга.

Оглавление

Введем 2 граничных условия: первое уравнение системы написано для E-волн, второе — для ТМ-волн. 

E волна — волна с чисто поперечным магнитным полем.
H волна — волна с чисто поперечным электрическим полем; волна магнитного типа.



В итоге, получили две краевые задачи для нахождения продольных компонент полей. (Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Электродинамика сплошных сред", §91)

Таким образом, задача об определении электромагнитного поля в волноводе сводится к нахождению решений двумерного волнового уравнения.
Первый множитель в первом слагаемом первого уравнения является двумерным оператором Лапласа (подробнее: http://stu.sernam.ru/book_emp.php?id=4).

Эти 2 краевые задачи в математической физике называются задачами на собственные числа и на собственные функции. Это означает, что решение задач производится не при произвольном каппа, а при заданном Н (собств.числа).

Собственные функции — Ez, Hz.

Форма границы будет определять собственные числа краевой задачи. 

Из математической физики известно, что для этих краевых задач , где i — дискретный набор чисел.

Случай, когда каппа равно 0 будем рассматривать отдельно.

Можем объединить собственные числа в некий набор. Получим: 

Этот набор бесконечен.



— дисперсионное уравнение волны в волноводе.

Дисперсионное уравнение объясняет свойства волн.

При любой заданной частоте ω в волноводе с идеально проводящими стенками всегда существует конечное число распространяющихся волн и бесконечное число волн не распространяющихся.
Ещё собственные функции называют модами волновода.

Постоянная распространения

Введём вспомогательные понятия.

1. Критическая длина волны (частота) в волноводе.

Частота, при которой волны в волноводе перестают быть распространяющимися, носит название критической частоты.

Длина волны в свободном пространстве, соответсвующая критической частоте, носит название критической длины волны.

Принято выражать длину волны в волноводе на частоте ω через длину волны в свободном пространстве соответствующей заданной частоте и критическую длину волны данной моды.

2. Фазовая скорость волны в волноводе.

В идеально проводящем волноводе фазовая скорость всегда больше фазовой скорости в свободном пространстве.

3. Групповая скорость - определяет скорость переноса энергии и информации.


В идеально проводящем волноводе групповая скорость всегда меньше фазовой скорости в свободном пространстве.

Рассмотрим пример:

 

Характеристический импеданс мод волновода

 

Волновое сопротивление — характеристика среды распространения волны.


Имеет разный вид для TE и TM волн.

Определим выражения для вектора Пойнтинга, который характеризует средний по времени поток энергии через единицу поверхности.