Введем 2 граничных условия: первое уравнение системы написано для E-волн, второе — для ТМ-волн.
Найдём тоже самое только для H и TE-волн.
В итоге, получили две краевые задачи для нахождения продольных компонент полей.
Эти 2 краевые задачи в математической физике называются задачами на собственные числа и на собственные функции. Это означает, что решение задач производится не при произвольном каппа, а при заданном Н (собств.числа).
Форма границы будет определять собственные числа краевой задачи.
Из математической физики известно, что для этих краевых задач , где i — дискретный набор чисел.
Случай, когда каппа равно 0 будем рассматривать отдельно.
Можем объединить собственные числа в некий набор. Получим:
Этот набор бесконечен.
— этот вид зависимости показывает, что если h — действительное, то волна является распространяющейся, если же h — мнимая, то волна — потенциально спадающая (не распространяющаяся).
— дисперсионное уравнение волны в волноводе.
Длина волноводной волны
Введём вспомогательные понятия.
1. Критическая длина волны (частота) в волноводе.
Частота, при которой волны в волноводе перестают быть распространяющимися, носит название критической частоты.
Длина волны в свободном пространстве, соответсвующая критической частоте, носит название критической длины волны.
Принято выражать длину волны в волноводе на частоте ω через длину волны в свободном пространстве соответствующей заданной частоте и критическую длину волны данной моды.
2. Фазовая скорость волны в волноводе.
В идеально проводящем волноводе фазовая скорость всегда больше фазовой скорости в свободном пространстве.
3. Групповая скорость - определяет скорость переноса энергии и информации.
В идеально проводящем волноводе групповая скорость всегда меньше фазовой скорости в свободном пространстве.
Рассмотрим пример. Для конкретной моды длина волны в 2 раза больше критической длины волны :
Он имеет разный вид для TE и TM волн.
Определим выражения для вектора Пойнтинга, который характеризует средний по времени поток энергии через единицу поверхности.
При этом переносимая волноводом мощность равна: