Выполнила Молева Александра, группа 437. 

2019 год

   2.1. Понятие регулярных волноводов.

   Регулярные волноводы - волноводы, свойства которых не меняются или меняются периодически вдоль направления распространения волны.

   Будем предполагать, что имеем дело с однородными плоскими волнами (такое предположение позволительно,так как волновод регулярный)
 
   Также отметим, что рассматриваемые волны - гармонические.
   Учитывая это условие, запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:

   Поля будут иметь вид:

 

   Подставим уравнения для элекрического и магнитного полей в уравнения Максвелла для комплексных амплитуд и запишем их в декартовой системе координат. 

   Производная по z в rot устремляется к (-ih), где h - продольное волновое число.

   В результате взятия ротoра получаем следующие выражения для проекций электрического и магнитного полей: 

  Сгруппируем уравнения согласно стрелкам:

   Последовательно решая системы уравнений, выразим поперечные координаты полей через продольные:

   До предположения о регулярности волновода необходимо было считать, что нам неизвестно в волноводе 6 скалярных функций, а после предположения стало 2 неизвестных скалярных функций.

   Для нахождения компонент полей  воспользуемся волновыми уравнениями (получены из уравнений Максвелла в прошлом семестре):

   Распишем те же уравнения, разложив лапласиан по поперечным координатам:

Учитывая это условие, запишем:

   Получили уравнения Гельмгольца - эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных. Для решения этих дифференциальных уравнений необходимо задать граничные условия:

  Будем считать, что границы волновода - идеально проводящие стенки, форму пока не определяем. 

   Идеально проводящая стенка - стенка, тангенциальная компонента которой обращается в ноль, то есть  (вдоль волновода). 
    Запишем теперь на основе компонентного представления поперечные компоненты полей в векторном виде:
 

2.2. Краевые задачи.

    Введем локальную систему координат.
   Тогда для тангенциальной компоненты электрического поля получим выражение:
   Из условия  получим: 
 >> 
   Таким образом, возникают две краевые задачи:
   В мат. физике такие задачи - задачи на собственные числа и собственные функции. Решение этих краевых задач возможно не для любых значений поперечного волнового числа , а для определенных, при которых возможны решения - собственные числа.
    определяется формой границ; найденные  собственные функции краевых задач.
   Собственные функции краевых задач - это решения, соответствующие собственных числам.
Свойство: В случае, когда границы у волновода идеально проводящие, краевые задачи для  являются независимыми. Следовательно, могут существовать два независимых решения:
1) Если , то имеем дело с поперечно-магнитными волнами (ТМ -, Е - волнами)
2) Если , то волна поперечно-электрическая (ТЕ -, Н - волнами)
   Из мат. физики также известно, что решение этих краевых задач возможно для бесконечного числа дискретных значений 
   Из свойств краевых задач следуют свойства волн.
 
 

2.3. Дисперсионное уравнение.

   Запишем уравнение для электрического поля волны:
   Выразив квадрат продольного волнового числа, получим дисперсионное уравнение:
   Оно показывает, чему будем равнятся h при изменении частоты:
   Волна будет распространяться, когда , то есть h - действительное число.
   Каждой  соответствует своя волна, а у каждой волны есть своя критическая частота. Причем:
   Волны волновода соответствуют конкретной  - моде волновода.
   Чем выше частота, тем больше в волноводе число распространяющихся мод. Количество нераспространяющихся волн равно бесконечности, а распространяющихся волн - конечно.
   Дисперсионное уравнение позволяет получить длину волны в волноводе.
                                                                
                                                                     
Чтобы записать  общем виде, введём вспомогательные величины:

   Но в волноводах происходят затухания.

2.4. Фазовая и групповая скорости.

Фазовая скорость:

   В пространстве, заполненном  , фазовая скорость всегда больше скорости света, поэтому волны в волноводе с идеально проводящими стенками называются быстрыми волнами.

   Групповая скорость находится по следующей формуле:

 

Задания для самостоятельной работы по схеме таксономии Блума.

1. Дайте определение регулярного волновода, опираясь на материал лекции и свои знания.

2. Опишите зависимость волнового числа распространяющейся моды от частоты.

3. Проиллюстрируйте случай, когда фазовая скорость будет больше скорости света.

4. Сравните групповую и фазовую скорости по их значению. В чем суть каждой из них?

5. Подготовьте небольшой рассказ о значении регулярных волноводов в нашей жизни.

6. Произведите оценку своего рассказа на основании критерия верности используемых вами утверждений (опираясь на лекции, другие материалы и ваши личные знания).

>> Пройти тест

>> Посмотреть термины и основные мысли лекции

>> Следующая лекция