Запишем поле через вихревую и потенциальную компоненты:
Интерес прежде всего представляет вихревое поле:
ер-коэффициент возбуждения
Докажем соотношение ортогональности мод
Проинтегрируем по обьёму резонатора
Делаем смену обозначений q на p и наоборот:
Если это не так, то интеграл равен 0
Отсюда следует соотношение ортогональности:
Запишем уравнения Максвелла для искомых полей и подставим одну систему в другую
Получим:
Очевидно что div от вихревых полей = 0.
(Из уравнений непрерывности)
Потенциальные поля описываются уравнениями статики:
Домножим первое уравнение на Eq, второе Hq и воспользуемся свойством ортогональности мод. Можно показать, что интеграл от Ер на моду ортогональности обратится в 0, тогда благодаря свойству ортогональности, получается следующее выражение:
Если ω''<<ω' (затухание мало)