14:47 11.03.2011 | Автор: Александр
Из педагогического блога "Обо всем по немногу" на педагогическом портале Педсовет.org Новая система онлайн тестирования для учащихся и всех желающих испытать свои знания на образовательном проекте "ЭФФОР - эффективное обучение и развитие" (http://effor.ru) По формированию навыков скоростного устного счета, разработан ряд курсов: Основы скоростного устного счета Скоростной счет с натуральными числами Скоростной счет с десятичными числами Скоростной счет с обыкновенными дробями К каждому из курсов прилагаются небольшие методические рекомендации. Теперь о самом главном: вышеупомянутая система тестирования (Эффор.ru) имеет ряд важных и нужных функций. Во первых, она сохраняет результаты работы с каждым курсом, показывает % выполнения заданий, время потраченное на курс и время последнего его прохождения. Визуально каждый курс раскрашивается в разные цвета (красный, оранжевый, синий, зеленый) в зависимости от успешности его выполнения. Кроме этого, система может давать ученику подсказки или правильные ответы, в зависимости от вида курса. Причем использование подсказок учитывается в итоговом результате. Там же на портале система тестов по развитию интеллектуальных возможностей и др. Система курсов бесплатна для всех пользователей, и позиционируется как бесплатная система со свободным доступом ко всем образовательным материалам
Метод Трахтенберга
Система Трахтенберга — система эффективного счёта, основанная на оригинальных цифровых правилах раздельного получения цифр единиц E и десятков D для таблицы умножения однозначных чисел. Есть несколько цифровых алгоритмов для умножения на 11, 12, 13.
В системе описан экономный способ записи расчётов при умножении многозначных чисел на однозначные множители. Есть предложения по оптимизации выполнения других арифметических действий: сложения, деления.
Разработана математиком Яковом Трахтенбергом.
Содержание [убрать]
История создания системы Трахтенберга
Представляет интерес предистория создания Яковом Трахтенбергом системы быстрого счёта- совокупности методов быстрых и рациональных вычислений. Он родился в Одессе в 1888 г., получил образование инженера, окончив с отличием Петербургский горный институт. Работал главным инженером Обуховского судостроительного завода. Убеждённый пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, куда он переселился в 1919 г., а затем в Австрии, бежав туда после прихода к власти Гитлера.
Я. Трахтенбергу принадлежит собственный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии.
После аншлюса Трахтенберга был арестован фашистами и семь лет провёл в концентрационных лагерях. Жена помога ему совершить побег из лагеря, он бежал в Югославию. Гестаповцы настигли его и там, опять бросили в концлагерь. В страшных нечеловеческих условиях Трахтенберг направил душевные силы на сохранение здорового духа и психики. Все свободное время он посвятил арифметике, её замкнутому миру чисел. Система быстрого счета - результат размышлений за эти страшные годы.
В 1944 г. жене стало известно о его предстоящей казни, она сумела еще раз спасти Якова. Сначала добилась перевода мужа в Лейпциг. Здесь снова организовала побег. Яков вскоре снова был арестован и отправлен на тяжёлые работы в каменоломню в Триест. Последний побег оказался удачным, супруги Трахтенберг приехали в Швейцарию.
После войны Трахтенберг организовал в Цюрихе свой математический центр - единственное в своем роде учебное заведение. Проводились курсы, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу. Методы Трахтенберга пользовались единодушным признанием публики.
Общее умножение
В системе Трахтенберга применяется общеизвестный метод поразрядного умножения, где в вычислениях многократно используется таблица умножения однозначных чисел AxB=[D;E]. В обсуждаемой системе устных вычислений главные усилия направлены на оптимизацию действий вычислителя за счёт удачного расположения исходных данных и результатов на бумаге и использования, где это возможно, цифровых правил непосредственного указания цифр единиц E и цифр десятков D произведения AxB.
Значительная часть примеров, описываемых Трахтербергом, относится к случаю умножения многозначного числа на однозначный множитель, который иногда заменяется на число до 13. Предлагаемые алгоритмы относятся к такому варианту устного счёта, в процессе которого можно записывать отдельные полученные цифры ответа и забывать о них. Внимание вычислителя сосредоточено на действиях по вычислению нового разряда.
У Трахтенберга есть алгоритмы, в которых число результата получено вычислениями "справа налево", что противоречит общей тенденции в технологии устного счёта. Вычислители стараются получать числовые разряды ответа "слева направо", так как первый шаг вычислений в уме - приблизительно определить величину результата.
Отметим, что в 40-50-е года не существовало электронных калькуляторов, механические арифмометры из-за громоздкости нельзя было носить собой. Любые полезные рекомендации по решению небольших практических задач пользовались успехом у публики.
Общее деление
Основано на методе умножения
Что дают цифровые правила
Цифровые правила для таблицы умножения AxB=[D;E] - это алгоритмы прямого указания цифр произведения - десятков D или единиц E - по известным величинам однозначных множителей A и B. Получаем две функции - функцию десятков D(A;B) и функцию единиц E(A;B). Если цифровое правило просто и легко выполнить (что бывает не всегда), то его использование экономит усилия.
Чтобы привлечь внимание к системе цифровых правил, Я. Трахтенберг парадоксально заявлял о том, что не надо учить таблицу умножения, а нужно учить цифровые правила.
Почему цифровые правила полезны для таблицы умножения? При умножении многозначных множителей приходится много раз поразрядно перемножать AxB. Однако в традиционной системе устного счёта (аудиомоторный счёт) предлагается запоминать произведение в виде фразы "пять пять - двадцать пять" и пр., где одновременно присутствуют и десятки, и единицы ответа.
Общий алгоритм ("алгоритм Евклида") показывает универсальный способ умножения. Для двузначных множителей [M;A]x[N;B], где M, N - десятки; A, B - единицы:
[M;A]x[N;B] = [ (MxN); (MxB + NxA); (AxB) ].
В общем алгоритме умножения многозначных чисел последняя цифра полностью определена произведением последних цифр сомножителей, записанных в разряде единиц. Здесь полезны цифровые правила единиц E(A;B), не требующие упоминания о величине десятков.
Для получения цифры десятков D = (MxB + NxA) нужно использовать кроме цифр единиц A, B еще и цифры десятков M, N. В традиционной технологии счёта здесь возникает лишняя работа. Способ запоминания таблицы умножения в виде фразы заставляет выполнять лишние действия с не нужными в данный момент разрядами: умножаем MxB=[D1;E1], отбрасываем десятки. Умножаем NxA=[D2;E2], отбрасываем десятки. Складываем единицы E1+E2, записываем единицы этой суммы в раряд десятков D произведения. Напротив, используя цифровые правила, можно достичь экономии, и сразу же получить E1(M;B)+E2(N;A).
Общеизвестны слеующие цифровые правила.
Умножение на десять: Ax10=[A;0] - приписать нуль справа к множителю A. Тогда A - десятки, 0 - единицы произведения.
Умножение на 5: Ax5=[ (A/2); 0] - умножить число на 10 и разделить пополам. Если A - нечётно, десятки равны целой части от деления A/2 пополам, единицы равны 5.
Умножение на 9. Формула для разрядов 9xA=[(A-1); (10-A)], десятки на единицу меньше множителя, единицы равны дополнению множителя.
Умножение на 8 способом перехода к дополнению. Обозначим звездочкой дополнение числа A до полного десятка A* = 10 - A. Тогда
8xA = [(A – 8*); (A* x 8*)] = [(A – 2); (A* x 2)].
Если множители A и B более 5, находим их дополнения A* и B*, величина которых менее 5. Затем раздельно подсчитываем десятки D и единицы E результата.
Проверка даёт правильные результаты для всех множителей.
Пусть A – чётное.
8x2 = [(2–2); (2*x2)] = 0 + 8x2 = 16
8x4 = [(4–2); (4*x2)] = 20 + 6x2 = 20 + 12 = 32
8x6 = [(6–2); (6*x2)] = 40 + 4x2 = 40 + 8 = 48
8x8 = [(8–2); (8*x2)] = 60 + 2x2 = 60 + 4 = 64
Пусть A – нечётное.
8x3 = [(3–2); (3*x2)] = 10 + 7x2 = 10 + 14 = 24
8x5 = [(5–2); (5*x2)] = 30 + 5x2 = 30 + 10 = 40
8x7 = [(7–2); (7*x2)] = 50 + 3x2 = 50 + 6 = 56
8x9 = [(9–2); (9*x2)] = 70 + 1x2 = 70 + 2 = 72.
Эти цифровые правила эффективны для множителей более 5. Не стоит применять в устном счёте эти цифровые правила к множителям менее 5.
Цифровые правила Трахтенберга для умножения
Названные выше известные цифровые правила умножения на 10, на 9, на 8, на 5 Трахтенберг использовал в своей системе эффективных вычислений.
Произведения (6xA) и (7xA) Трахтенберг предлагает вычислять в уме через известное, заученное заранее, значение (5xA).
Правило умножения на 6. Формула 6xA=(5xA) + A.
Проверка.
Пусть A – чётное, 6xA = [(A/2); A].
6x2 = [(2/2); 2] = 10 + 2 = 12
6x4 = [(4/2); 4] = 20 + 4 = 24
6x6 = [(6/2); 6] = 30 + 6 = 36
6x8 = [(8/2); 8] = 40 + 8 = 48.
Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.
6x3 = [(3/2); (3 + 5)] = 10 + 8 = 18
6x5 = [(5/2); (5 + 5)] = 20 + 10 = 30
6x7 = [(7/2); (7 + 5)] = 30 + 12 = 42
6x9 = [(9/2); (9 + 5)] = 40 + 14 = 54
Правило умножения на 7. Формула 7xA=(5xA) + 2xA.
Проверка.
Пусть A – чётное, 7xA = [(A/2); (2A)].
7x2 = [(2/2); (2x2)] = 10 + 4 = 14
7x4 = [(4/2); (4x2)] = 20 + 8 = 28
7x6 = [(6/2); (6x2)] = 30 + 12 = 42
7x8 = [(8/2); (8x2)] = 40 + 16 = 56.
Пусть A – нечётное, 6xA = [(A/2); (2A + 5)]. У числа, деленного пополам, отбрасывается дробная часть.
7x3 = [(3/2); (2x3+5)] = 10 + 11 = 21
7x5 = [(5/2); (2x5+5)] = 20 + 15 = 35
7x7 = [(7/2); (2x7+5)] = 30 + 19 = 49
7x9 = [(9/2); (2x9+5)] = 40 + 23 = 63.
Заметим, что цифровые правила Трахтенберга для умножения 7 на нечётный множитель менее эффективны для устного счёта из-за большого числа микродействий.
Правило умножения на 4.
Правила Трахтенберга умножения 4xA для чётного A удобны и просты.
Пусть A – чётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + A*.
Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); A*].
Проверка.
4x2 = [(2/2 - 1); 2*] = 0 + 8 = 8
4x4 = [(4/2 - 1); 4*] = 10 + 6 = 16
4x6 = [(6/2 - 1); 6*] = 20 + 4 = 24
4x8 = [(8/2 - 1); 8*] = 30 + 2 = 32.
Примеры умножения на 4xA для нечётного A по правилам Трахтенберга оказываются сложнее.
Пусть A – нечётное. Формула 4xA = 10x(A/2-1) + (A* + 5).
Цифровая разрядная запись 4xA = [(A/2 - 1); (A* + 5)].
Проверка.
4x3 = [(3/2 - 1); (3* + 5)] = 0 + (7 + 5) = 0 + 12 = 12
4x5 = [(5/2 - 1); (5* + 5)] = 10 + (5 + 5) = 10 + 10 = 20
4x7 = [(7/2 - 1); (7* + 5)] = 20 + (3 + 5) = 20 + 8 = 28
4x9 = [(9/2 - 1); (9* + 5)] = 30 + (1 + 5) = 30 + 6 = 36.
Правило умножения на 3. При поиске и реализации правила умножения на 3 у Трахтенберга возникли трудности (как сейчас ясно, непреодолимые в рамках "линейной" математической теории и "линеных" представлений). Чтобы не оставлять таблицу умножения без правила умножения на 3, Я.Трахтенберг использовал в качестве базового исходного числа удвоение, которое в его системе рассматривается как исходная величина, заученная заранее. Получились следующие алгоритмы.
Пусть А - чётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2)].
Проверка.
3x2 = [(2/2 - 2); (2* x 2)] = [(1 - 2); (8 x 2)] = -10 + 16 = 6
3x4 = [(4/2 - 2); (4* x 2)] = [(2 - 2); (6 x 2)] = 0 + 12 = 12
3x6 = [(6/2 - 2); (6* x 2)] = [(3 - 2); (4 x 2)] = 10 + 8 = 18
3x8 = [(8/2 - 2); (8* x 2)] = [(4 - 2); (2 x 2)] = 20 + 4 = 24.
Пусть А - нечётное. Цифровая разрядная запись 3xA = [(A/2 - 2); (A*x2 + 5)].
Проверка.
3x3 = [(3/2 - 2); (3* x 2 + 5)] = [(1 - 2); (7x2 + 5)] = -10 + (14 + 5) = 9
3x5 = [(5/2 - 2); (5* x 2 + 5)] = [(2 - 2); (5x2 + 5)] = 0 + (10 + 5) = 12
3x7 = [(7/2 - 2); (7* x 2 + 5)] = [(3 - 2); (3x2 + 5)] = 10 + (6 + 5) = 21
3x9 = [(9/2 - 2); (9* x 2 + 5)] = [(4 - 2); (1x2 + 5)] = 20 + (2 + 5) = 27.
Все вычисления по этим цифровым правилам умножения на 3 не эффективны. Проще и быстрее запоминать и применять фразы о результатах примеров третьего листа умножения.
Заметим, что эффективные цифровые правила единиц для умножения имеются в наглядной арифметике, где применяются не только поразрядные аналитические формулы, но и геометрические преобразования на телефонной Т-матрице. В наглядной арифметике предлагается полная универсальная система цифровых правил (не только умножения, но и других арифметических действий).
В отличие от системы Трахтенберга, в геометрической интерпретации правило умножения 3xA выполняется как поворот на Т-матрице радиального луча множителя A на прямой угол по часовой стрелке. После поворота радиальный луч показывает цифру единиц произведения [3xA]=[D;E], где цифра единиц
E ( 3 x A ) = R ( A ).
Функция R является поворотом радиального луча любой цифры A на Т-матрице по часовой стрелке на прямой угол, значением функции R является однозначное число. По определению, R(5)=5, R(0)=0.
Другие алгоритмы умножения
Умножение на 12
Правило: чтобы умножить на 12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседомподразумевается цифра справа.)
Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример: 316 × 12 = 3 792:
В этом примере:
6 × 2 = 12 (2 переносим 1)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0
Умножение на 11
Правило: Добавь цифру к её соседу. (Под соседом подразумевается цифра справа.)
Пример: 3,425 × 11 = 37,675
0,3425 × 11 = (0+3), (3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 3,7675
Доказательство:
11 = 10+1
Таким образом,
3425 x 11 = 3425 x(10+1) = 34250 + 3425 = 37675.
Литература
Программы
iOS (iPhone, iPad)
Android
BlackBerry
"Искусство беглости пальцев" Карла Черни дополнили недавно выпущенным пособием - "Искусство скоростного счёта дензнаков веером"
Устный счёт
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского. Николай Богданов-Бельский.1895 год.
У́стный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств(компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.).
Содержание [убрать]
Процесс устного счёта[править | править исходный текст]
Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.
Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:
Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:
Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка — замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.
Устный счёт в начальной школе[править | править исходный текст]
Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе[1]. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции[1].
Тренажёры для устного счёта.
Цифровые вертушки на телефонной матрице.
Цифровые вертушки в базовом варианте представляют собой две телефонных панели, допускающие повороты вокруг центральной оси. Цифровые вертушки являются механическими учебными пособиями, позволяющими в игровой форме изучать с детьми методы геометрического сложения и умножения однозначных десятичных чисел. Описаны в патенте РФ[2].
Конструкция цифровой вертушки. Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трех строк и трех столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение — это поворот пропеллера вокруг оси[3].
Сложение.
Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B=[D;E] двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения.
Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы.
Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний.
Правило единиц. Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы.
Пример 2+1. Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3.
Пример 7+7. Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-ой молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4.
Применяем правило десятков. Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1[4].
Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=[D;E]). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB[5]. Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B).
Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило, удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами. Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано.
Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов, последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут бытьдинамическими, как в кино, или же статическими, если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых.
Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом.
Компьютер «на пальцах».
Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки. Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=[D;E]). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки". Например, 3x2=6[6].
Аналогично: правило единиц умножения на 7 — это правило левой руки[7].
Правило единиц умножения на 9 — это шпагат из пальцев[8].
Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы[9]. При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы[10]. Удачным тренажёром являются механические учебные пособия — цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу[11].
Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки — 9[12].
Феноменальные счётчики
Основная статья: Феноменальный счётчик
Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.
До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте[13]. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова[13].
Среди известных российских «супер счётчиков»:
Среди зарубежных:
Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях[31], другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы[13].
Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях — и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.
Соревнования по устному счёту
В настоящее время в прибалтийских странах и Белоруссии набирает популярность соревнование по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине(эст. Pranglimine), проводящиеся в Миксике (Эстония)[32][33].
Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме (англ.)[34], на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».
Метод Трахтенберга[править | править исходный текст]
Основная статья: Метод Трахтенберга
Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга[35]. История её создания необычна[14]. В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь. Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт[14].
Устный счёт в искусстве
В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:
Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя» Барри Левинсона и в фильме «Пи» Даррена Аронофски.
Некоторые приёмы устного счёта
Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306)[36].
Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176[36]. Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176, причем 150*8=(150*2)*4=300*4=1200.
Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350[36]. Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.
Несколько способов устного счета:
например, 43*11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.
Возведение числа вида [N;5] (оканчивающееся пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: [N; 5] x [N; 5] = [ (Nx(N+1)) ; 2; 5 ]. Доказательство (10N+5) x (10N+5) = (N*(N+1)) x 100 + 25. Например, 65² = 6*7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9*10 и приписать 25 справа).
См. также
Примечания[править | править исходный текст]
Литература[править | править исходный текст]
Ссылки
Имеется викиучебник по теме
«Устный счёт»
Приёмы устного счёта
Автор проекта
Краткая аннотация проекта
Что такое устный счет?
Это математические вычисления, проведенные в голове человека без использования дополнительных устройств – калькулятор, компьютер, счеты, и разных приспособлений – карандаш, бумага, ручка…Как можно заметить, сегодня люди разучились считать в уме, привязавшись к калькулятору. В 5-6 классах школы формирование навыков устного счета имеет особое место, на этом этапе это одна из главных задач обучения математике. Именно в эти годы обучения детям закладываются основные приемы устных вычислений, которые способны активизировать мыслительную деятельность, развивать способность воспринимать на слух сказанное память, речь, повышать внимание и быстроту реакции.
Тренинг по устному счету, обучая нас считать в уме, учит в первую очередь думать. В качестве примера можно привести картину 1895 г. русского художника Н. П. Богданова-Бельского – «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Ее наверняка помнят все, кто учился в школе особенно в советское время из учебника «Математика». На картине деревенская школа XIX века, учитель – реальный человек по имени Сергей Александрович Рачинский.
На классной доске картины написан пример, который ученики должны решить устно:
Ведь если предложить такой пример современным ребятам, то большинство из них взяли бы в руки калькуляторы, так как разучились думать и напрягаться, другие же расписали все решение на бумаге. Но ведь можно обойтись и без этих вычислений, если знать свойство чисел, что сумма квадратов последовательных трех чисел равна сумме квадратов двух за ними следующих!
Вопросы, направляющие проект
Основополагающий вопрос
Умею ли я быстро считать?
Проблемные вопросы
Может ли человек считать быстро как компьютер?
Какие приёмы вычислений существуют?
Где пригодятся приёмы вычислений в жизни?
Учебные вопросы
1.Какие законы сложения и умножения вы знаете?
2.Какие способы умножения существуют?
3.Какие свойства умножения и деления вам знакомы?
План проведения проекта
Перед началом работы над проектом: представление родителям учеников краткой информации о проектном методе обучения и получение от них согласия на работу детей в Интернете, публикации текстов и фотографий детей – буклет для родителей. На первом занятии в рамках учебного проекта следует провести беседу с учениками (презентация учителя), для того чтобы выяснить их знания по теме проекта (формирующее оценивание), а также мотивировать на участие в проекте, и поделить класс на рабочие группы. В ходе презентации учитель знакомит учащихся с планом работы над проектом, а также критериями оценивания проекта. Учащимся было предложено выполнить практическую работу по плану в одной из трех групп: • умножение с опорным числом 10 . • умножение с опорным числом 100 • счёт на китайских палочках Учащиеся разбиваются на группы и выбирают темы самостоятельных исследований. После чего учитель организует обсуждение плана дальнейших действий. Далее в течение 1недели идет работа со справочными материалами, ресурсами Интернет, инструкциями и памятками. На этапе самостоятельной работы организуются краткие обсуждения хода проекта на уроках математики. Результаты работ учащихся посвящены ответам на проблемные вопросы. Затем начинается систематизация собранного материала, обсуждение полученной информации в группах, корректировка и доработка материалов после обсуждения с учителем, и оформление результатов деятельности в виде призентаций. Творческий отчет. Рефлексия.
Визитная карточка проекта
Публикация учителя
Презентация учителя для выявления представлений и интересов учащихся
Пример продукта проектной деятельности учащихся
1 группа Умножение с опорным числом
2 группа Умножение на китайских палочках
3 Учитель Сложный простой устный счёт
Материалы по формирующему и итоговому оцениванию
Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности
Другие документы
