Ссылка на оглавление.

Объемные резонаторы

Подробная информация об объемных резонаторах доступна в интернет ресурсе Wikipedia.

Что бы получить резонатор достаточно закоротить волновод с двух торцевых сторон.
Для начала рассмотрим волновод, закороченный с одной стороны.

Рассмотрим граничные условия при z=0 и поля внутри данного волновода:

Используем формулы представляющие поперечные компоненты через продольные в двух направлениях (см. Уравнения полей в волноводе).


Окончательно получим:

Значит для любого волновода закороченного с одной стороны, зная структуру любой моды бегущей волны, можно получить выражения для полей в резонаторе.
Поставим перегородку из идеального проводника в точках со следующими координатами, что бы получить резонатор:

Берем отрезок длины z=L, тогда:

В волноводе, который ограничен с двух сторон, продольное волновое число не произвольное, при этом волновое число 

Из данных выражений следует, что в такой системе могут существовать колебания в дикретном наборе частот, которые называются резонансными или собственными.
У колебательного контура одна резонасная частота, а в резонаторе дискретный набор частот, удовлетворяющий условию:

Рассмотрим прямоугольный резонатор с идеально проводящими стенками

Можно ввести классификацию мод волн волновода ТЕnmp и ТМnmp.
При таком соотношении главная мода данного резонатора, то есть мода имеющая минимальную собственную частоту  - TE₁₀₁, при этом:

Найдем все поля для данной моды данного резонатора.
Выразим компоненты поля, зная выражение Ey для прямоугольного резонатора моды TE₁₀₁

Воспользуемся уравнением Фарадея, с помощью которого выразим составляющие магнитного поля


Для того, что бы изобразить картины силовых линий главной моды резонатора, найдем мгновенные значения. Для этого запишем комплексный множитель и возьмем реальную часть от получившегося выражения

Картины силовых линий будут выглядеть следующим образом:

 

Коаксиальный резонатор

Определим резонансную частоту главной моды ТЕМ волны в коаксиальном резонаторе. Для моды ТЕМ поперечное волновое число равно нулю, учитывая, что для главной моды p=1 получим следующие соотношения:

Тогда силовые линии в коаксиальном резонаторе для моды ТЕМ имеют вид

 

 Затухание колебаний в резонаторе

Рассмотрим прямоугольный резонатор.

Рассмотрим резонатор с потерями, но на тех же модах что и без потерь. Затухания в таком резонаторе характеризуются мнимой частью комплексной частоты (декрементом затухания) . Определим данную величину для прямоугольного резонатора.
Запасенную энергию можно представить в виде суммы запасенных электрических и магнитных полей.


То есть запасенную энергию можно вычислить через комплексные амплитуды магнитного и электрического полей.
Выражение для запасенной энергии представим в виде:

При этом справедливы следующие выражения:


Исходя из полученных формул определим декремент затухания в резонаторе.

Данное выражение совпадает с постоянной затухания для волновода, у которого стенки не идеально проводящие.
Потерянную мощность можно определить по формуле:


Определим декремент затухания для моды TE₁₀₁ резонатора с размерами a*b*c, у которого торцевые стенки не идеально проводящие с заданной проводимостью.
Для начала определим поля моды типа TE₁₀₁.
Запишем компоненту Ey для данной моды:

Рассмотрим закон Фарадея:

Распишем ротор электрического поля:


Определим компоненты магнтного поля:

Рассчитаем запасенную энергию в данном резонаторе:

Теперь определим потерянную мощность, считая, что торцевые стенки не идеально проводящие:

Объединяя полученные выражения, вычислим декремент затухания для пямоугольного резонатора.

 Задача: Определить декремент затухания коаксиального резонатора, считая что одна из торцевых стенок не идеально проводящая.

Дополнительная информация об объемных резонаторах доступна по ссылке.

Ссылка на оглавление.