Понятие регулярных волноводов.

 

В результате взятия ротoра получаем следующие выражения для проекций электрического и магнитного полей: 

Сгруппируем уравнения согласно стрелкам:

Последовательно решая системы уравнений, выразим поперечные координаты полей через продольные:

До предположения о регулярности волновода необходимо было считать, что нам неизвестно в волноводе 6 скалярных функций, а после предположения стало 2 неизвестных скалярных функций.

Для нахождения компонент полей воспользуемся волновыми уравнениями (получены из уравнений Максвелла в прошлом семестре):

 Распишем те же уравнения, разложив лапласиан по поперечным координатам:

Учитывая это условие, запишем:

Получили уравнения Гельмгольца - эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных. Для решения этих дифференциальных уравнений необходимо задать граничные условия:

Будем считать, что границы волновода - идеально проводящие стенки, форму пока не определяем. 

Идеально проводящая стенка - стенка, тангенциальная компонента которой обращается в ноль, то есть   (вдоль волновода). 

Запишем теперь на основе компонентного представления поперечные компоненты полей в векторном виде:

                                    Краевые задачи.

 

   Тогда для тангенциальной компоненты электрического поля получим выражение, где из условия  получим:

  

В мат. физике такие задачи - задачи на собственные числа и собственные функции. Решение этих краевых задач возможно не для любых значений поперечного волнового числа , а для определенных, при которых возможны решения - собственные числа.

    определяется формой границ; найденные  собственные функции краевых задач.

   Собственные функции краевых задач - это решения, соответствующие собственных числам.

Свойство: В случае, когда границы у волновода идеально проводящие, краевые задачи для  являются независимыми. Следовательно, могут существовать два независимых решения:

1) Если , то имеем дело с поперечно-магнитными волнами (ТМ -, Е - волнами)

2) Если , то волна поперечно-электрическая (ТЕ -, Н - волнами)

   Из мат. физики также известно, что решение этих краевых задач возможно для бесконечного числа дискретных значений 

   Из свойств краевых задач следуют свойства волн.

 

 

 

                                    Дисперсионное уравнение.

   Запишем уравнение для электрического поля волны:

 

 

   Выразив квадрат продольного волнового числа, получи, то есть Рм дисперсионное уравнение:

 

   Оно показывает, чему будем равнятся h при изменении частоты:

 

   Волна будет распространяться, когда , то есть h - действиельное число.

 

   Каждой  соответствует своя волна, а у каждой волны есьт своя критическая частота. Причем:

 

   Волны волновода соответствуют конкретной  - моде волновода.

 

   Чем выше частота, тем больше в волноводе число распространяющихся мод. Количество нераспространяющихся волн равно бесконечности, а распространяющихся волн - конечно.

   Дисперсионное уравнение позволяет получить длину волны в волноводе.

                                                                

                                                                     

Чтобы записать  общем виде, введём вспомогательные величины:

•  - длину плоской однородной волны в свободном пространстве,  соответствует 
•  - длину волны в свободном пространстве, соответствующую критической частоте (критическую длину волны),  соответствует .

 

   Но в волноводах происходят затухания.

                                   Фазовая и групповая скорости.

Фазовая скорость:

  В пространстве, заполненном  , фазовая скорость всегда больше скорости света, поэтому волны в волноводе с идеально проводящими стенками называются быстрыми волнами.

   Групповая скорость находится по следующей формуле: