Для того, что бы в реальном волноводе существовали электромагнитные волны, необходимо передать ему энергию, при этом нужно заметить, что поля могут возбуждаться переменными зарядами.
Подведем к волноводу проводник, подключенный к переменному напряжению.
Вследствии чего появятся переменные токи в волноводе, а следовательно появятся поля.
Найдем поля, возбуждаемые заданными токами в волноводе. Поля, которые возбуждаются заданными источниками - это сумма мод волн. Рассмотрим поля, возбуждаемые на заданных частотах. Для этого потребуется вспомогательное соотношение, так как в волноводе существует конечное число распространяющихся мод, следовательно их сумма будет тоже конечной. Таким вспомогательным соотношением является лемма Лоренца.
Рассмотрим в общем случае неоднородное пространство.
Пусть в нем заданы два распределения тока и соответствующих им распределения поля.
Запишем уравнения Максвелла, в которое входят электрические и магнитные токи. Далее скалярно умножим их на соотвествующие поля.
Просуммируем полученные соотношения, тем самым перейдем к двум выражениям:
Проссумировав еще раз соответствующие компоненты и применяя равенство:
Получим лемму Лоренца в дифференциальной форме:
Проинтегрируем полученное выражение по произвольному объему V, ограниченному поверхностью S и воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, получая тем самым лемму Лоренца в интегральной форме.
Данная лемма утверждает, что существует связь между токами и соответствующими ими полями.
Можно попробовать найти распределение в какой-либо среде. Тогда, зная одно распределение, можно использовав эту связь, найти второе распределение. Значит существует регулярный метод, позволяющий по одному распределению найти другие распределения.
Перейдем к волноводу.
Рассмотрим произвольный волновод с идеально проводящими стенками, в котором заданы соответствующие распределения, локализованные в определенной точке пространства. Из визических соображений справа наблюдается набор мод, бегущих вправо, слева набор мод, бегущих влево.
Так как волновод произвольный, обозначим моды через индекс p.
Соответственно существуют поля,которые можно записать в виде:
Условимся, если p>0, то hp>0, значит мода бежит вправо.
Если p<0, то hp<0, значит мода бежит влево.
Соответственно можно представить разложение поля по собственным модам:
где аp - амплитуда волны с номером p. Будем считать, что она одинаковая для электрического и магнитного полей.
Докажем вспомогательное соотношение, которое носит название - соотношение мод волновода.
Докажем его с помощью леммы Лоренца. Для этого рассмотрим участок волновода от z1 до z2 и введем сечения произвольной формы S1 и S2. Соответственно получили объем, заключенный между стенками волновода и сечениями S1 и S2. Рассмотрим две моды в данном объеме.
Рассмотрим поля, распространяющиеся в данном объеме и применим к ним лемму Лоренца:
где n - нормаль к поверхности. Поверхность состоит из трех составляющих: боковой поверхности и поверхностей S1 и S2.
Граничные условия на боковой поверхности имеют вид:
Значит интеграл по боковой поверхности равен 0, следовательно получится выражение:
Рассмотрим отдельно интеграл
Интеграл не зависит от z, в двух случаях:
Полученное соотношение называется соотношением ортогональности мод волновода.
Теперь рассмотрим поля, возбуждаемые справа и слева от источника.
Запишем лемму Лоренца для выделенного объема для следующего случая:
То есть рассмотрим в качестве вспомогательной моды поле моды, бегущей влево. Берем эталонное поле, пускаем его влево, и ищем поле бегущее вправо. С помощью сумм и интегралов достанем ту, которая нам больше нужна.
Рассмотрим интеграл, в котором содержится параметр ap (амплитуда волны с номером p):
Так как тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю, значит данный интеграл по боковой поверхности тоже равен нулю. Рассмотрим интеграл по боковой поверхности S1 и выразим коэффициенты моды через токи в волноводе:
Норма моды